Los siguientes son algunos de los conceptos más importantes en geometría.
Punto (geometría)
Los puntos se consideran objetos fundamentales en la geometría euclidiana. Se han definido de diversas formas, incluida la definición de Euclides como "aquello que no tiene parte" y mediante el uso de álgebra o conjuntos anidados. 14 En muchas áreas de la geometría, como la geometría analítica, la geometría diferencial y la topología, se considera que todos los objetos se construyen a partir de puntos. Sin embargo, se ha realizado algún estudio de geometría sin referencia a puntos. 15
Líneas
Euclides describió una línea como "longitud sin ancho" que "se encuentra igualmente con respecto a los puntos sobre sí misma". 13 En las matemáticas modernas, dada la multitud de geometrías, el concepto de línea está estrechamente relacionado con la forma en que se describe la geometría. Por ejemplo, en geometría analítica , una línea en el plano a menudo se define como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación lineal dada , 16 pero en un entorno más abstracto, como la geometría de incidencia , una línea puede ser un objeto independiente. , distinto del conjunto de puntos que se encuentran en él. 17En geometría diferencial, una geodésica es una generalización de la noción de línea a espacios curvos . 18
Planos
Un plano es una superficie plana bidimensional que se extiende infinitamente. 13 Los planos se utilizan en todas las áreas de la geometría. Por ejemplo, los planos se pueden estudiar como una superficie topológica sin hacer referencia a distancias o ángulos; 19 se puede estudiar como un espacio afín , donde se pueden estudiar la colinealidad y las proporciones pero no las distancias; 20 se puede estudiar como el plano complejo utilizando técnicas de análisis complejo ; 21 y así sucesivamente.
Ángulos
Euclides define un ángulo plano como la inclinación entre sí, en un plano, de dos líneas que se encuentran y no son rectas entre sí. 13En términos modernos, un ángulo es la figura formada por dos rayos, llamados lados del ángulo, que comparten un punto final común, llamado vértice del ángulo. 22
Ángulos agudos (a), obtusos (b) y rectos (c). Los ángulos agudos y obtusos también se denominan ángulos oblicuos.
En la geometría euclidiana, los ángulos se utilizan para estudiar polígonos y triángulos , además de formar un objeto de estudio por derecho propio.13 El estudio de los ángulos de un triángulo o de los ángulos en un círculo unitario forma la base de la trigonometría. 23
En geometría diferencial y cálculo, los ángulos entre curvas planas o curvas espaciales o superficies se pueden calcular utilizando la derivada 2425
Curvas
Una curva es un objeto unidimensional que puede ser recto (como una línea) o no; las curvas en el espacio bidimensional se denominan curvas planas y las del espacio tridimensional se denominan curvas espaciales. 26
En topología, una curva se define mediante una función de un intervalo de los números reales a otro espacio. 19 En geometría diferencial, se usa la misma definición, pero se requiere que la función definitoria sea diferenciable.27 La geometría algebraica estudia las curvas algebraicas , que se definen como variedades algebraicas de dimensión uno. 28
Superficies
Una esfera es una superficie que se puede definir paramétricamente (como x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ) o en forma implícita (como x2 + y2 + z2 − r2 = 0.)
Una superficie es un objeto bidimensional, como una esfera o un paraboloide. 29 En geometría diferencial 27 y topología , 19 las superficies se describen mediante "parches" bidimensionales (o vecindades ) que se ensamblan mediante difeomorfismos u homeomorfismos , respectivamente. En geometría algebraica, las superficies se describen mediante ecuaciones polinómicas. 28
Variedades
Una variedad es una generalización de los conceptos de curva y superficie. En topología, una variedad es un espacio topológico donde cada punto tiene una vecindad que es homeomorfa al espacio euclidiano. 19En geometría diferencial, una variedad diferenciable es un espacio donde cada vecindario es difeomórfico al espacio euclidiano. 27
Las variedades se utilizan ampliamente en física, incluida la relatividad general y la teoría de cuerdas. 30
Longitud, área y volumen
Artículo principal: Longitud
Artículo principal: Área
Artículo principal: Volumen
La longitud, el área y el volumen describen el tamaño o la extensión de un objeto en una dimensión, dos dimensiones y tres dimensiones, respectivamente. 31
En geometría euclidiana y geometría analítica, la longitud de un segmento de línea a menudo se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras. 32
El área y el volumen pueden definirse como cantidades fundamentales separadas de la longitud, o pueden describirse y calcularse en términos de longitudes en un plano o espacio tridimensional. 31 Los matemáticos han encontrado muchas fórmulas explícitas para el área y fórmulas para el volumen de varios objetos geométricos. En cálculo , el área y el volumen se pueden definir en términos de integrales , como la integral de Riemann 33o la integral de Lebesgue. 34
Métricas y medidas
Artículo principal: Métrica
Comprobación visual del teorema de Pitágoras para el triángulo (3, 4, 5) como en el Zhoubi Suanjing 500-200 AC. El teorema de Pitágoras es una consecuencia de la métrica euclidiana].
El concepto de longitud o distancia se puede generalizar, dando lugar a la idea de métricas. 35 Por ejemplo, la métrica euclidiana mide la distancia entre puntos en el plano euclidiano, mientras que la métrica hiperbólica mide la distancia en el plano hiperbólico. Otros ejemplos importantes de métricas incluyen la métrica de Lorentz de la relatividad especial y la métrica semirriemanniana de la relatividad general. 36
En otra dirección, los conceptos de longitud, área y volumen se amplían con la teoría de la medida, que estudia métodos de asignación de un tamaño o medida a conjuntos, donde las medidas siguen reglas similares a las del área y volumen clásicos. 37
Congruencia y similitud
Artículo principal: Congruencia
La congruencia y la similitud son conceptos que describen cuando dos formas tienen características similares. 38 En la geometría euclidiana, la similitud se usa para describir objetos que tienen la misma forma, mientras que la congruencia se usa para describir objetos que son iguales tanto en tamaño como en forma. 39 Hilbert, en su trabajo sobre la creación de una base más rigurosa para la geometría, trató la congruencia como un término indefinido cuyas propiedades están definidas por axiomas.
La congruencia y la similitud se generalizan en la geometría de transformación , que estudia las propiedades de los objetos geométricos que se conservan mediante diferentes tipos de transformaciones. 40
Construcciones con compás y regla
Artículo principal: Compás (instrumento)
Los geómetras clásicos prestaron especial atención a la construcción de objetos geométricos que se habían descrito de alguna otra manera. Clásicamente, los únicos instrumentos permitidos en las construcciones geométricas son el compás y la regla. Además, cada construcción tenía que completarse en un número finito de pasos. Sin embargo, algunos problemas resultaron difíciles o imposibles de resolver solo por estos medios, y se encontraron ingeniosas construcciones utilizando parábolas y otras curvas, así como dispositivos mecánicos.
Dimensión
El copo de nieve de Koch, con dimensión fractal = log4 / log3 y dimensión topológica = 11
Donde la geometría tradicional permitía las dimensiones 1 (una línea), 2 (un plano ) y 3 (nuestro mundo ambiental concebido como un espacio tridimensional ), los matemáticos y físicos han utilizado dimensiones superiores durante casi dos siglos.41 Un ejemplo de uso matemático para dimensiones superiores es el espacio de configuración de un sistema físico, que tiene una dimensión igual a los grados de libertad del sistema. Por ejemplo, la configuración de un tornillo se puede describir mediante cinco coordenadas. 42
En topología general, el concepto de dimensión se ha extendido desde los números naturales hasta la dimensión infinita (espacios de Hilbert, por ejemplo) y los números reales positivos (en geometría fractal). ]]).43 En geometría algebraica, la dimensión de una variedad algebraica ha recibido varias definiciones aparentemente diferentes, que son todas equivalentes en los casos más comunes.44
Simetría
Un mosaico del plano hiperbólico
El tema de la simetría en geometría es casi tan antiguo como la ciencia de la geometría misma. .45 Las formas simétricas como el círculo, los polígonos regulares y los sólidos platónicos tenían un significado profundo para muchos filósofos antiguos 46 y fueron investigadas en detalle antes de la época de Euclides.9 Los patrones simétricos ocurren en la naturaleza y fueron representados artísticamente en una multitud de formas, incluyendo los gráficos de Leonardo da Vinci, MC Escher y otros. .47En la segunda mitad del siglo XIX, la relación entre simetría y geometría fue objeto de un intenso escrutinio.
El programa Erlangen de Felix Klein proclamó que, en un sentido muy preciso, la simetría, expresada a través de la noción de un grupo de transformación, determina qué es la geometría. .48 La simetría en la geometría euclidiana clásica está representada por congruencias y movimientos rígidos, mientras que en la geometría proyectiva juegan un papel análogo las colinaciones , transformaciones geométricas que convierten las líneas rectas en líneas rectas. .49Sin embargo, fue en las nuevas geometrías de Bolyai y Lobachevsky, Riemann, Clifford y Klein, y Sophus Lieque la idea de Klein de "definir una geometría a través de su grupo de simetría " encontró su inspiración.50 Tanto las simetrías discretas como las continuas juegan un papel destacado en la geometría, la primera en la topología y la teoría de grupos geométricos,5152 la última en la teoría de Lie y la geometría de Riemann. 5354
Un tipo diferente de simetría es el principio de dualidad en la geometría proyectiva, entre otros campos. Este meta-fenómeno se puede describir aproximadamente de la siguiente manera: en cualquier teorema, intercambiar ”punto” con “plano”, “unirse” con “encuentro”, “se encuentra” con “contiene” , y el resultado es un teorema igualmente verdadero. .55 Existe una forma de dualidad similar y estrechamente relacionada entre un espacio vectorial y su espacio dual..56
